Задача 115780

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Теорема синусов ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Какие треугольники можно разрезать на три треугольника с равными радиусами описанных окружностей?

Решение

  Если треугольник ABC остроугольный, то радиусы описанных окружностей треугольников ABH, BCH и CAH, где H – ортоцентр, равны (см. задачу 55597).
  Пусть  ∠C ≥ 90° и AC > BC.  Возьмём на стороне AC такую точку D, что  AD = BD,  а на стороне AB такую точку E, что  ∠AED = ∠C  (это возможно, так как  ∠A < 180° – ∠C).  По теореме синусов радиусы описанных окружностей треугольников ADE, BDE и BDC равны (см. рис.).

  Пусть  ∠C ≥ 90°  и  AC = BC.  Покажем, что треугольник ABC нельзя разрезать требуемым образом. Если разрезание осуществляется из внутренней точки, то радиусы получившихся треугольников могут быть равны только, если точка является ортоцентром, что невозможно. Если же треугольник разрезается чевианой на два, а затем один из этих двух еще раз на два, то треугольник, который разрезается второй чевианой, должен быть равнобедренным, следовательно первый разрез нужно производить отрезком CD, где  AD = AC.  Но тогда при любом разрезании треугольника ACD из вершины A радиусы описанных окружностей полученных треугольников будут меньше радиуса описанной окружности треугольника BCD (см. рис.).

Ответ

Все, кроме равнобедренных неостроугольных.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
тур
задача
Номер	17