Задача 115870

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Дан треугольник ABC площади 1. Из вершины B опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Найдите площадь треугольника AMC.

Решение

Первый способ. Проведём через точку B прямую, параллельную AC до пересечения с биссектрисой угла C в точке N (см. рис.). Так как
∠BNC = ∠ACN = ∠BCN,  то треугольник BCN – равнобедренный и BM – его медиана. Следовательно,  S_AMC = ½ S_ANC = ½ S_ABC = ½.

Второй способ. Так как  S_AMC = ½ AC·CM sin ^∠C/₂  и  CM = BC cos ^∠C/₂,  то  S_AMC = ¼ AC·BC sin∠C = ½ S_ABC = ½.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	14