Задача 115872

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Три прямые проходят через точку O и образуют попарно равные углы. На одной из них взяты точки A₁, A₂, на другой – B₁, B₂, так что точка C₁ пересечения прямых A₁B₁ и A₂B₂ лежит на третьей прямой. Пусть C₂ – точка пересечения A₁B₂ и A₂B₁. Докажите, что угол C₁OC₂ прямой.

Решение

Пусть C₃ – точка пересечения прямых OC₁ и A₂B₁ (см. рис.). Применив сначала к треугольнику OA₂B₁ и точке C₁ теорему Чевы, а затем к этому же треугольнику и прямой A₁B₂ теорему Менелая, получаем, что  C₂A₂ : C₂B₁ = C₃A₂ : C₃B₁ = OA₂ : OB₁.  Следовательно, OC₂ – внешняя биссектриса угла A₂OB₁ и  OC₂ ⊥ OC₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	16