Задача 115877

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Прокопенко Д.

В остроугольном треугольнике ABC точка H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Точка C₂ симметрична C относительно A₁B₁. Докажите, что H, O, C₁ и C₂ лежат на одной окружности.

Решение

Как известно, треугольники ABC и A₁B₁C подобны с коэффициентом  cos∠C.  Значит, поскольку  ∠ACO =  BCC₁ = 90° – ∠B,  прямая CO содержит высоту треугольника A₁B₁C, то есть точки C, O, C₂ лежат на одной прямой (см. рис.). Кроме того,  CC₂ : CC₁ = 2 cos∠C.  С другой стороны,  CH = 2CO cos∠C  (это следует из того, что при гомотетии с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом 2 точка O переходит в H). Следовательно,
CO·CC₂ = CH·CC₁ , что равносильно утверждению задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	20