Задача 115891

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Акопян А.В., Савенков К.

Пусть AH_a и BH_b – высоты треугольника ABC, P и Q – проекции точки H_a на стороны AB и AC. Докажите, что прямая PQ делит отрезок H_aH_b пополам.

Решение

Пусть CH_c – третья высота треугольника. Тогда  ∠H_aH_cB = ∠C = ∠H_bH_cA.  Следовательно, точка, симметричная H_a относительно AB, лежит на прямой H_bH_c. Аналогично на этой же прямой лежит точка, симметричная H_a относительно AC. Соответственно, точки P, Q лежат на средней линии треугольника H_aH_bH_c (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	8
задача
Номер	8.3