Задача 115915

Темы:    [ Вписанные четырехугольники ] [ Теорема синусов ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

AB — хорда окружности, делящая её на два сегмента. M и N середины дуг, на которые делят окружность точки A и B . При повороте вокруг точки A на некоторый угол точка B переходит в точку B' , а точка M — в точку M' . Докажите, что отрезки, соединяющие середину отрезка BB' с точками M' и N , перпендикулярны.

Решение

Обозначим

ABB'= AB'B = AMM'= AM'M= α,

BAN= ABN = AMN = β.
Пусть прямые BB' и MM' пересекаются в точке N' . Тогда
AMN' = 180^o- AMM'=180^o-α= 180^o- ABN',
значит, четырёхугольник AMN'B вписанный, поэтому точка N' лежит на данной окружности. При этом MN — диаметр окружности, значит, NN'M = 90^o .
Пусть R — радиус окружности. Тогда
MN=2R, BN=2R sin β, AM=2R cos β,

AB=2R sin (180^o-2β)=2R sin 2β = 4R sin β cos β,
а т.к. равнобедренные треугольники AMM' и ABB' подобны, то
= == =,
поэтому
=2· == .
Кроме того,
M'MN= AMM'+ NMA=α +β, DBN = DBA+ NBA = α + β,
значит, треугольники M'MN и DBN подобны, поэтому NM'N'= NM'M = BDN . Тогда четырёхугольник DNM'N' — вписанный, а т.к. NN'M'= NN'M= 90^o , то NM' — диаметр описанной окружности этого четырёхугольника. Следовательно, NDM'=90^o . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2587