Задача 115919

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ ГМТ и вписанный угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AD , BE и CF . Точки X , Y и Z таковы, что D , E и F являются серединами отрезков BX , CY и AZ соответственно. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников ACX , ABY и BCZ , являются вершинами треугольника, равного треугольнику ABC .

Решение

Пусть Z' — точка, симметричная точке Z относительно прямой BC (рис.1). Тогда

CZ'B= CZB = CZA = CAZ = CAB
(треугольник ACZ равнобедренный, т.к. его высота CF является медианой). Из точек Z' и A , лежащих по одну сторону от прямой BC , отрезок BC виден под одним и тем же углом, значит, точки A , B , C и Z' лежат на одной окружности — окружности, описанной около треугольника ABC . Поэтому при симметрии относительно прямой BC окружность, описанная около треугольника BCZ , переходит в окружность, описанную около треугольника ABC , а значит, центр первой из этих окружностей переходит в центр второй. Аналогично для центров остальных окружностей, о которых говорится в условии.
Таким образом, центры O1 , O2 и O3 окружностей, описанных около треугольников ACX , ABY и BCZ , симметричны центру O описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон.
Заметим, что и треугольник ABC , и треугольник O1O2O3 (рис.2) подобны с коэффициентом 2 треугольнику с вершинами в серединах сторон треугольника ABC . Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2591