Задача 115930

Тема:    [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике синус меньшего угла равен . Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, разбивающая треугольник на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит гипотенузу?

Решение

Пусть M — точка на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC , sin A = , N точка на катете AC , MN AB и S_{Δ AMN}=S_{Δ ABC} .
Обозначим, BC=t . Тогда

AB== = 3t.
Треугольник ANM подобен треугольнику ABC с коэффициентом, равным квадратному корню из отношения площадей, т.е. , значит, MN = .
Из прямоугольного треугольника ANM находим, что
AN = = 3MN=, AM= = = 2t,
поэтому MB=AB-AM=3t-2t=t . Следовательно,
==2.

Ответ

2:1 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3396