Условие
Дан трёхгранный угол с вершиной
O и точка
A
на его ребре. По двум другим его рёбрам скользят
точки
B и
C . Найдите геометрическое место
точек пересечения медиан треугольников
ABC .
Решение
Пусть
B и
C — произвольные точки на рёбрах
данного трёхгранного угла
OABC ,
K — середина
отрезка
BC ,
M — точка пересечения медиан
треугольника
ABC . Тогда
=
.
При гомотетии с центром
A и коэффициентом
точка
K перейдёт в точку
M , плоскость
OBC —
в плоскость
α , проходящую через точку
M параллельно
грани
OBC , а грань
OBC — в пересечение плоскости
α
с данным трёхгранным углом. Следовательно, каждая такая точка
M принадлежит этому пересечению.
Пусть теперь
M — произвольная точка построенного пересечения.
При гомотетии с центром
A и коэффициентом
это
пересечение перейдёт в грань, противоположную ребру
OA , а точка
M
— в некоторую точку
K , лежащую в этой грани. Известно, что для
любой точки
K , лежащей внутри угла, найдётся отрезок
BC с концами
на сторонах угла, для которого точка
K будет серединой. При этом
= . Следовательно,
M — точка пересечения
медиан треугольника
ABC . Что и требовалось доказать.
Ответ
Рассмотрим плоскость, параллельную грани
OBC и
отстоящую от неё на треть расстояния между точкой
A и гранью
OBC . Искомое ГМТ — часть этой
плоскости, лежащая внутри данного трёхгранного
угла.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
7314 |
