Задача 115998
|
|
 |
Условие
Докажите, что ни при каких натуральных значениях x и y число x8 – x7y + x6y² – ... – xy7 + y8 не является простым.
Решение
x8 – x7y + x6y² – ... – xy7 + y8 = =
=
=
(x² – xy + y²)
(x6 – x³y³ + y6).
Полученные множители имеют одинаковый вид (неполный квадрат суммы). Но a² – ab + b² = (a – b)² + ab ≥ 1, если а и b – натуральные числа. Равенство возможно только при x = y = 1, тогда данное число равно 1, то есть не является простым. В остальных случаях каждый множитель больше 1, поэтому данное число – составное.
