Задача 116014

Темы:    [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Найдите наименьшее натуральное n, при котором число  А = n³ + 12n² + 15n + 180  делится на 23.

Решение

n³ + 12n² + 15n + 180 = n²(n + 12) + 15(n + 12) = (n + 12)(n² + 15).  Наименьшее значение n, при котором первый множитель делится на 23, равно 11, а для второго множителя такое n равно 10. Это можно проверить непосредственным перебором или заметив, что
n² + 15 ≡ n² – 100 = (n – 10)(n + 10) (mod 23).

Ответ

n = 10.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	9
задача
Номер	9.2.3