ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116025
УсловиеВ пифагоровой таблице умножения выделили прямоугольную рамку толщиной в одну клетку, причём каждая сторона рамки состоит из нечётного числа клеток. Клетки рамки поочередно раскрасили в два цвета – чёрный и белый. Докажите, что сумма чисел в чёрных клетках равна сумме чисел в белых клетках. Решение 1Пусть углы рамки чёрные. Каждое белое число рамки равно полусумме своих чёрных соседей по рамке, при этом каждое чёрное число входит в две полусуммы. Сложив эти равенства, получим, что сумма чисел, записанных в белых клетках, равна сумме чисел, записанных в чёрных клетках. Решение 2Продолжим шахматную раскраску на всю таблицу. Заметим, что среднее арифметическое чисел, стоящих в двух одноцветных клетках одного ряда (строки или столбца), равно числу в клетке, стоящей посередине между ними. Отсюда следует, что среднее арифметическое всех чисел, записанных в чёрных (белых) клетках рамки, равно числу, стоящему в центре рамки. Поскольку количество чёрных клеток в рамке равно количеству белых, то и суммы чисел, записанных в них, равны. Замечания4 балла Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|