|
|
 |
Условие
Равнобедренная трапеция описана около окружности. Докажите, что биссектриса тупого угла этой трапеции делит её площадь пополам.
Решение 1
Боковая сторона AB трапеции ABCD равна полусумме оснований BC и AD. Пусть биссектриса тупого угла B пересекает прямую AD в точке E.
∠AEB = ∠EBC = ∠ABE, поэтому AE = AB. Следовательно, точка E лежит внутри основания AD. Площадь треугольника ABE, отсечённого биссектрисой, равна половине площади трапеции, поскольку длина стороны AB равна средней линии трапеции, а высоты треугольника и трапеции совпадают.
Решение 2
Ось симметрии трапеции и биссектриса пересекаются в центре вписанной окружности и вместе с основаниями высекают два равных прямоугольных треугольника с катетами, равными радиусу и половине меньшего основания (на рисунке они закрашены жёлтым цветом). Ось симметрии делит трапецию на две равные половинки. Прибавив к половинке один треугольник и отняв другой, получим часть, отсечённую биссектрисой.
Замечания
4 балла
