ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116028
Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В некоторой школе более 90% учеников знают английский и немецкий языки, и более 90% учеников знают английский и французский языки.
Докажите, что среди учеников, знающих немецкий и французский языки, более 90% знают английский язык.


Решение 1

Пусть a школьников знают все три языка, b – только английский и немецкий, c – только английский и французский, d – только немецкий и французский. По условию  a + b > 9(c + d),  a + c > 9(b + d).  Взяв полусумму, получим  a > 9d + 4(b + c) ≥ 9d,  что и требовалось.


Решение 2

Заметим, что в группе АНФ (знающих все три языка) более 80% учеников, а в каждой из групп АН (знающих только английский и немецкий) и АФ – менее 10%. Поэтому можно отчислить из школы по одному ученику из групп АН и АФ и 8 – из группы АНФ. Это не повлияет на условия задачи, а процент, который нужно оценить, только уменьшится. Поэтому процедуру можно повторять, пока одна из групп (пусть АН) не опустеет. И даже после этого группа АНФ составляет более 90% от всех оставшихся школьников.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .