ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116044
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Ф.

В остроугольном треугольнике ABC на высоте BH выбрана произвольная точка P. Точки A' и C' – середины сторон BC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A' на CP, пересекается с перпендикуляром, опущенным из C' на AP, в точке K. Докажите, что точка K равноудалена от точек A и C.


Решение 1

Проведём в треугольниках ABP и CBP средние линии C'C" и A'A", параллельные BP. Построим параллелограмм KA'A"K'. Тогда KC'C"K' – тоже параллелограмм, а K'C" и K'A" – срединные перпендикуляры к сторонам AP и CP треугольника APC. Значит, K' – центр описанной окружности этого треугольника и лежит на срединном перпендикуляре к AC. Но тогда там лежит и K.


Решение 2

Рассмотрим гомотетию (с центром в точке пересечения медиан), переводящую треугольник ABC в треугольник A'B'C', образованный его средними линиями. Эта гомотетия переводит высоты треугольника APC, опущенные из вершин A и C, в параллельные им прямые – указанные в условии перпендикуляры. Следовательно, ортоцентр треугольника APC переходит в точку K. Значит, K – ортоцентр треугольника A'B'C', то есть лежит на высоте этого треугольника, опущенной из вершины B', а это – серединный перпендикуляр к отрезку AC.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2010/2011
Номер 32
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .