ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116053
УсловиеКвадрат ABCD разрезан на одинаковые прямоугольники с целыми длинами сторон. Фигура F является объединением всех прямоугольников, имеющих общие точки с диагональю AC. Докажите, что AC делит площадь фигуры F пополам. Решение 1Разобьём квадрат на единичные клетки. Занумеруем диагонали, параллельные AC, начиная с левого нижнего угла B. Назовём кирпичами k-го сорта те прямоугольники разбиения, у которых левая нижняя клетка принадлежит k-й диагонали. Лемма. Количество кирпичей каждого сорта не зависит от разрезания. Вернёмся к задаче. Под диагональю AC лежат кирпичи нескольких первых сортов. Значит, их количество не зависит от разбиения. Повернув квадрат на 180°, мы получим новое разбиение с тем же числом кирпичей под диагональю AC. Следовательно, в исходном разбиении количество кирпичей под диагональю равно количеству кирпичей над диагональю. Отсюда, очевидно, следует утверждение задачи. Решение 2Разобьём квадрат на единичные клетки. Рассмотрим все составленные из клеток прямоугольники нужного размера. Если такой прямоугольник имеет общие точки с AC, назовём его важным. Ниже показано, как вписать в клетки числа, чтобы для каждого важного прямоугольника сумма вписанных в него чисел была равна разности площадей его частей над AC и под AC, а для каждого не важного и у квадрата в целом такая сумма равна нулю. Так как дополнение фигуры F разбивается на не важные прямоугольники, то и сумма чисел внутри F будет равна нулю, что равносильно утверждению задачи. Рассмотрим (клетчатые) диагонали, параллельные AC. Числа в клетках каждой диагонали будут одинаковы. Пусть размер прямоугольника m×n. В клетки диагонали AC впишем нули, в ближайшие m + n – 1 диагоналей над ней – единицы, под ней – минус единицы. Мы добились нужных сумм для важных прямоугольников. Рассмотрим ближайшую к AC незаполненную диагональ. Накроем любую её клетку прямоугольником так, чтобы она была в нём единственной не заполненной. Число клеток в его пересечении с заполненной диагональю не зависит ни от выбора незаполненной клетки, ни от положения прямоугольника. Тогда и сумма в заполненных клетках прямоугольника от этого не зависит. Впишем эту сумму с обратным знаком в каждую клетку диагонали и перейдём к заполнению следующей диагонали. Так действуем, пока все клетки не будут заполнены. В симметричных относительно AC клетках, очевидно, стоят противоположные числа, поэтому общая сумма равна нулю. Сумма в каждом не важном прямоугольнике по построению равна нулю. Замечания14 баллов Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|