|
|
 |
Условие
Cерединные перпендикуляры к сторонам BC и AC остроугольного треугольника ABC пересекают прямые AC и BC в точках M и N. Пусть точка C движется по описанной окружности треугольника ABC, оставаясь в одной полуплоскости относительно AB (при этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной окружности.
Решение
Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC (см. рис.). Докажем, что точки A, O, N, B и M лежат на одной окружности w. Рассмотрим четырехугольник AOBN: ∠OAB = 90° – ∠ACB, ∠ONB = 90° + ∠ACB (как внешний угол треугольника CKN). Тогда ∠OAB + ∠ONB = 180°. Cледовательно, точки A, B, O и N лежат на некоторой окружности w. Aналогично можно показать, что четырехугольник AOBM тоже вписанный, то есть точка M лежит на окружности w. Cледовательно, точки A, O, N, B и M лежат на окружности w.
Поскольку точки A, B, O фиксированы, то окружность w – фиксирована. Кроме того, ∠MON = 180° – ∠ACB = const. Cледовательно, длина хорды MN окружности w постоянна и не зависит от положения точки C. Bсе такие хорды находятся на одном расстоянии от центра P окружности w, а значит касаются некоторой окружности w0 с центром P.
Отметим, что точка P является серединой отрезка, соединяющего центр описанной окружности и точку пересечения касательных к описанной окружности, проведенных из вершин A и B, а радиус полученной окружности вдвое меньше радиуса окружности, описанной около треугольника ABC.
