Задача 116073
|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что B1C1 || AD.
Решение
Пусть точки C1 и B1 лежат на сторонах AB и CD соответственно (см. рис.). Так как ∠BC1C = 90° – ½ ∠ABD = 90° – ½ ∠ACD = ∠BB1C,
то точки B, C, B1 и C1 лежат на одной окружности. Значит, ∠B1C1A = ∠BCB1, следовательно, ∠B1C1A + ∠BAD = 180°, то есть AD || B1C1.
Aналогично рассматривается случай, когда обе точки лежат на продолжении соответствующих сторон.
B случае, когда одна из точек B1 и C1 лежит на стороне, а другая на продолжении, ∠BC1C + ∠BB1C = 180°, что также означает принадлежность этих точек одной окружности.
