Задача 116074

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и K соответственно так, что  S_KMC + S_KAC = S_ABC.
Докажите, что все такие прямые MK проходят через одну точку.

Решение

Заметим, что из равенства  S_KMC + S_KAC = S_ABC  следует, что  S_KMC = S_ABK,  откуда  BK : CK = h_M : h_A,  где h_A и h_M – перпендикуляры, опущенные на прямую BC из точек A и соответственно (см. рис.). Кроме того, из подобия следует, что  BM : BA = h_M : h_A.  Пусть K' – точка, симметричная K относительно середины стороны BC. Тогда  BM : BA = BK : CK = BK : BK',  что означает параллельность прямых MK и AK'. Следовательно, эти прямые симметричны относительно середины стороны BC, то есть прямая MK проходит через точку A', симметричную A относительно середины стороны BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	08 (2010 год)
Дата	2010-04-11
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	3