Задача 116080

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Прокопенко Д.

В треугольнике ABC  AA₁ и BB₁ – высоты. На стороне AB выбраны точки M и K так, что  B₁K || BC  и  MA₁ || AC.  Докажите, что  ∠AA₁K = ∠BB₁M.

Решение

  Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром AB. Следовательно,  ∠B = ∠A₁B₁C = ∠MA₁B₁.  Аналогично  ∠B = ∠AKB₁.  Следовательно, четырёхугольник MKA₁B₁ – вписанный. Тогда  ∠KB₁M = ∠KA₁M.  Из параллельности прямых и равенства вписанных углов в четырёхугольнике ABA₁B₁ получим, что  ∠MA₁A = ∠A₁AB₁ = ∠B₁BA₁ = ∠KB₁B.  Следовательно,  ∠BB₁M = ∠BB₁K + ∠KB₁M = ∠MA₁A + ∠KA₁M = ∠AA₁K.

  В случае, когда точки M и K располагаются на стороне AB в другом порядке, решение аналогично, только искомые углы являются не суммой рассмотренных углов, а их разностью.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	07 (2009 год)
Дата	2009-04-12
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	3