Условие
В остроугольном треугольнике проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной BC на прямую AC, проходит через центр вписанной окружности треугольника A1CB1.
Решение
Пусть K и M – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AC и BC соответственно, I – центр вписанной окружности, O – точка пересечения перпендикуляра ML и прямой IC (см. рис.). Докажем, что O – центр вписанной окружности треугольника A1B1C. Для этого достаточно доказать, что длина отрезка OL равна радиусу этой окружности. Из подобия прямоугольных треугольников COL и CIK следует, что OL : IK = CL : CK. Поскольку CK = CM и CL/CM = cos∠C, то OL = IK cos∠C. Теперь все следует из того, что треугольники A1B1C и ABC подобны с коэффициентом cos∠C.
