Задача 116146

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Ломаные ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?

Решение

  Рассмотрим звено AB этой. На отрезке AB могут находиться не более четырёх точек самопересечения, поскольку со звеньями, исходящими из вершин A и B, отрезок AB пересечься не может. Так как у ломаной 7 звеньев и в каждой точке пересекаются два звена, то точек самопересечения не больше чем
7·4 : 2 = 14.
  Пример ломаной, у которой 14 точек самопересечения, приведён на рисунке.

Ответ

14 точек.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	7
задача
Номер	7.2.2