|
|
 |
Условие
Биссектриса угла B и биссектриса внешнего угла D прямоугольника
ABCD пересекают сторону AD и прямую AB в точках M и
K соответственно.
Докажите, что отрезок MK равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.
Решение
Заметим, что ∠ABM = ∠AMB = ∠ADK = ∠AKD = 45° (см. рис.). Значит, AB = AM, AD = AK. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Прямоугольные треугольники BAD и MAK равны по двум катетам, поэтому BD = MK. Из равенства ∠ABM = ∠AKD = 45° получим, что BM ⊥ DK. Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то KM — высота треугольника ABD.
Bторой способ. При повороте вокруг точки A на 90° треугольник AMK переходит в треугольник ABD, следовательно, BD = MK и BD ⊥ MK.
Замечания
В этой задаче возникает следующая известная геометрическая конструкция. Если в четырёхугольнике ABCD углы A, C и D равны по 45°, то его диагонали AC и BD равны и перпендикулярны (см. рис.).
