Условие
B некоторой трапеции сумма длин боковой стороны и диагонали равна сумме длин
другой боковой стороны и другой диагонали.
Докажите, что трапеция равнобокая.
Решение
Пусть в трапеции ABCD (AD || BC) выполняется равенство AB + BD = AC + CD.
Первый способ. Рассмотрим точку E, симметричную D относительно прямой BC, и параллелограммы ABEK и ALEC. Если параллелограммы совпадают, то все доказано. В противном случае один лежит внутри другого (поскольку они имеют общий центр – середину отрезка AE, а вершины K и L лежат на прямой BC). Но тогда периметр внутреннего меньше (см. задачу 34932), а по условию периметры этих параллелограммов равны.
Bторой способ. Поскольку AB + BD = AC + CD, то периметр 2p1 треугольника ABD равен периметру 2p2 треугольника ACD (сторона AD у них общая). Tреугольники ABD и ACD равновеликие с равными периметрами, а следовательно, и равными радиусами вписанных окружностей (с центрами I1 и I2).
BK = CL, а значит, ∠I1BK = ∠I2CL или ∠ABD = ∠ACD, откуда следует, что трапеция вписана в окружность, то есть является равнобокой.
Tретий способ. Из условия следует, что вершины A и D трапеции являются фокусами некоторого эллипса, а две другие вершины лежат на этом эллипсе. Oтрезок BC, параллельный AD, при симметрии относительно серединного перпендикуляра к AD, должен переходить сам в себя (так как эллипс переходит сам в себя), следовательно, трапеция равнобокая.
