Задача 116179

Темы:    [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Фольклор

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  ∠ABC = 90°,  ∠BAC = ∠CAD,  AC = AD,  DH – высота треугольника ACD.
В каком отношении прямая BH делит отрезок CD?

Решение

  Так как угол BAC – острый, то угол CAD – острый, поэтому треугольник AСD – остроугольный. Значит, H – внутренняя точка отрезка АС.
  Пусть N – точка пересечения прямой BH и отрезка CD (см. рис.). Так как треугольники ABC и AHD равны (по гипотенузе и острому углу), то  AB = AH,  то есть треугольник ABH – равнобедренный. Пусть  ∠HBA = α,  тогда  ∠CHN = ∠BHA = α  и  ∠ACN = ½ (180° – ∠CAD) = ½ (180° – ∠CAB) = α,
∠NHD = 90° – α = ∠NDH.  Таким образом,  CN = HN = DN,  поэтому HN – медиана треугольника CHD.

Ответ

1 : 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	01 (2003 год)
Дата	2003-04-11
задача
Номер	2