|
|
 |
Условие
На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?
Решение
1) Докажем, что трех прямых достаточно. Пусть горизонтальная прямая а и прямая b, образующая с прямой а угол 45°, содержат центр О кружка, а прямая с параллельна а и находится от нее на расстоянии, равном 0,5R, где R – радиус данного круга (см. рис.).
Композицией осевых симметрий с осями а и с является параллельный перенос на расстояние R (вверх или вниз, в зависимости от порядка симметрий). Композицией осевых симметрий с осями а и b является поворот с центром О на угол 90° (в каждом из направлений, в зависимости от порядка симметрий).
Покажем, что любую точку плоскости можно покрыть, используя полученные преобразования. Для этого рассмотрим декартову систему координат с началом в точке О и осью x, совпадающей с прямой а (ось y проходит через точку О перпендикулярно а), где R – длина единичного отрезка. Пусть требуется накрыть кружком точку M (х; у). Целые числа, ближайшие к x и y обозначим m и n соответственно, тогда |x – m| ≤ 0,5 и |y – n| ≤ 0,5.
Если m > 0, то выполним m параллельных переносов вверх,
затем повернем вокруг точки О на –90° и выполним n параллельных переносов
вверх или вниз, в зависимости от знака числа n. Аналогично, если m < 0,
то выполним |m| параллельных переносов вниз, затем повернем вокруг точки О на –90°
и выполним n параллельных переносов вверх или вниз, в зависимости от знака числа n.
В результате проведенных преобразований центром круга станет точка O'
(m; n), причем .
Следовательно, точку М удалось покрыть.
2) Докажем, что двумя прямыми обойтись нельзя. Если выбранные прямые параллельны, то ортогональные проекции круга на эти прямые не изменяются при выполнении любого количества отражений. Если выбранные прямые пересекаются, то расстояние от точки их пересечения до центра круга не изменяется при выполнении любого количества отражений.
