Задача 116190

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Экстремальные точки треугольника ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

Дан остроугольный треугольник ABC. Прямая, параллельная BC, пересекает стороны AB и AC в точках M и P соответственно. При каком расположении точек M и P радиус окружности, описанной около треугольника BMP, будет наименьшим?

Решение

При любом положении прямой MP ∠BMP = 180° – ∠B.

Используя следствие из теоремы синусов, найдем радиус окружности, описанной около ΔBMP: . Oн принимает наименьшее значение одновременно с длиной отрезка BP, то есть, если BP ⊥AC (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	03 (2005 год)
Дата	2005-04-3
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	1