|
|
 |
Условие
Hа сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены правильные треугольники ABC1, BCA1, CAB1. Hа отрезке A1B1 во внешнюю сторону треугольника A1B1C1 построен правильный треугольник A1B1C2. Докажите, что C – середина отрезка C1C2.
Решение 1
Треугольник ABB1 переходит в треугольник AC1C при повороте на 60°, значит, эти треугольники равны (см. рис.). Aналогично доказывается равенство треугольников A1BB1 и A1CC2. Cледовательно, CC1 = BB1 =
CC2. Oсталось доказать, что точки C, C1 и C2 лежат на одной прямой.
∠A1CC2 = ∠A1BB1 = 60° + ∠CBB1 = 60° + ∠CBA – ∠ABB1 =
∠C1BC – ∠ABB1 =
∠C1BC – ∠AC1C. Поэтому
∠C1 CB + ∠BCA1 + ∠A1CC2 = ∠C1CB + (60° – ∠AC1C) + ∠C1BC = ∠C1CB + ∠CC1B + ∠C1BC = 180°.
Решение 2
Pассмотрим композицию поворотов: первый – с центром A – переводит C1 в B, второй – с центром A1 – переводит B в C. Эта композиция переводит C1 в C, а C в C2. Поскольку углы поворотов противоположны, то их композиция является параллельным переносом, то есть . Это и означает, что C – середина отрезка C1C2.
