ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116212
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки M и N – середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD. Перпендикуляр, опущенный из точки M на диагональ AC, и перпендикуляр, опущенный из точки N на диагональ BD, пересекаются в точке P. Докажите, что  PA = PD.


Решение

Обозначим через Q середину стороны AD (см. рис.). Заметим, что  MQ || BDQN || AC  как средние линии треугольников ABD и ACD соответственно. Поэтому прямые MP и NP – высоты треугольника MNQ, а P – его ортоцентр. Значит,   QPMN || AD,  то есть QP – серединный перпендикуляр к отрезку AD. Следовательно,  PA = PD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2011
Номер 74
класс
Класс 8
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .