ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116213
УсловиеВ каждой клетке квадратной таблицы написано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a, Решение 1Пусть в таблице n строк. Возьмём в каждой строке по два наибольших числа и выпишем эти 2n чисел в порядке возрастания. Ввиду равенства сумм в пары входят первое и последнее, второе и предпоследнее и т.д. Отметим в таблице n + 1 наибольших из выписанных чисел. По принципу Дирихле найдутся два отмеченных числа в одном столбце; их сумму обозначим через s. По условию, s ≤ b. С другой стороны, s не меньше суммы двух наименьших из отмеченных чисел, а это как раз центральная пара из выписанных чисел, и её сумма равна a. Значит, a ≤ s ≤ b. Аналогично доказывается, что b ≤ a. Решение 2Пусть a > b. Числа в таблице, не меньшие a/2, назовём большими. В каждом столбце не больше одного большого числа. В каждой строке не меньше одного большого числа. Значит, всего в таблице не больше и не меньше чем n больших чисел, то есть их ровно n, причём в каждой строке и в каждом столбце – ровно по одному. Пусть x – наименьшее большое число. В его строке найдётся число a – x, которое не является большим. В столбце последнего найдётся большое число, оно не меньше x. Мы нашли столбец и два числа в нём, сумма которых не меньше a, то есть больше b. Противоречие. ЗамечанияБаллы: 8-9 кл. – 10, 10-11 кл. – 8Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|