ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116216
УсловиеВ прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол A равен 30°, точка I – центр вписанной окружности ABC, D – точка пересечения отрезка BI с этой окружностью. Докажите, что отрезки AI и CD перпендикулярны. РешениеПусть E – точка касания вписанной окружности и стороны BC. Заметим, что CE = IE (см. рис.). В прямоугольном треугольнике IEB угол IBE равен 30°, значит, ∠EIB = 60°. Следовательно, треугольник IDE равносторонний.По доказанному CE = IE = DE, то есть треугольник CDE равнобедренный. Угол при вершине E равен ∠CED = 180° – 30° = 150°. Следовательно, ∠DCE = 15°. Осталось заметить, что ∠IAC + ∠ACD = 15° + (90° – ∠DCE) = 90°, а значит, AI ⊥ CD. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|