ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116216
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Перпендикулярные прямые ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол A равен 30°, точка I – центр вписанной окружности ABC, D – точка пересечения отрезка BI с этой окружностью. Докажите, что отрезки AI и CD перпендикулярны.


Решение

 Пусть E – точка касания вписанной окружности и стороны BC. Заметим, что  CE = IE (см. рис.).

  В прямоугольном треугольнике IEB угол IBE равен 30°, значит,  ∠EIB = 60°.  Следовательно, треугольник IDE равносторонний.
  По доказанному  CE = IE = DE, то есть треугольник CDE равнобедренный. Угол при вершине E равен  ∠CED = 180° – 30° = 150°.  Следовательно,
DCE = 15°.  Осталось заметить, что  ∠IAC + ∠ACD = 15° + (90° – ∠DCE) = 90°,  а значит,  AICD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2011
Номер 74
класс
Класс 9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .