|
|
 |
Условие
Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов x2011 + 2011x – 1 и x2011 – 2011x + 1.
Решение 1
Пусть x1 > 0 – корень уравнения x2011 + 2011x – 1, а x2 > 0 – корень уравнения x2011 – 2011x + 1. Тогда Складывая эти равенства почленно, получаем
Значит,
Таким образом, x1 < x2.
Решение 2
Функция x2011 принимает только положительные, а функция 2011x – 1 – только отрицательные значения на интервале (0, 1/2011). Значит, уравнение x2011 = 2011x – 1 и многочлен x2011 – 2011x + 1 не имеют корней на этом интервале. Многочлен x2011 + 2011x – 1 принимает в концах отрезка
[0, 1/2011] значения разных знаков и, следовательно, имеет корень на интервале (0, 1/2011).
Ответ
У первого многочлена наименьший положительный корень меньше.
