Задача 116228

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бородин П.А.

В равнобедренном треугольнике ABC на основании BC взята точка D, а на боковой стороне AB – точки E и M так, что  AM = ME  и отрезок DM параллелен стороне AC. Докажите, что  AD + DE > AB + BE.

Решение

Так как  DM || AC,  то  ∠MDB = ∠C = ∠B  и  DM = MB = ME + EB.  Обозначим через K середину отрезка DE (см. рис.). Тогда MK – средняя линия в треугольнике ADE и  AD = 2MK.  По неравенству треугольника  AD + DE = 2(DK + KM) > 2MD = 2ME + 2EB = AE + EB + EB = AB + EB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2011
Номер	74
класс
Класс	11
задача
Номер	3