Задача 116230

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Ортогональная проекция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 11

Условие

Автор: Косухин О.Н.

Рассматриваются ортогональные проекции данного правильного тетраэдра с единичным ребром на всевозможные плоскости. Какое наибольшее значение может принимать радиус круга, содержащегося в такой проекции?

Решение

Пусть A, B, C и D — вершины этого тетраэдра, O — его центр (см. рис. а). Спроецируем тетраэдр ортогонально на некоторую плоскость π. Обозначим через A', B', C', D' и O' ортогональные проекции точек A, B, C, D и O на плоскость π соответственно. Если плоскость π параллельна рёбрам AB и CD, то проекция представляет собой квадрат с диагональю длины 1 (см. рис. б). В этот квадрат можно вписать круг радиуса .

Приведём два способа дальнейшего решения задачи.

Первый способ. Предположим, что найдётся такая плоскость π, что ортогональная проекция правильного тетраэдра ABCD с ребром длины 1 на эту плоскость содержит некоторый круг с центром в точке I и радиусом R > . Проекция тетраэдра представляет собой либо четырёхугольник с вершинами в точках A', B', C', D' (см. рис. в), либо треугольник с вершинами в трёх из этих точек (см. рис. г). Рассмотрим треугольники O'A'B', O'A'C', O'B'C', O'A'D', O'B'D' и O'C'D'. По крайней мере один из этих треугольников имеет сторону, являющуюся также стороной в этой проекции, и содержит точку I. Пусть для определённости это треугольник O'A'B'. Тогда расстояние от ребра AB до прямой l, проходящей через точку I перпендикулярно к плоскости π, не меньше R и больше . С другой стороны, эта прямая пересекает треугольник OAB в некоторой точке E (см. рис. д). Расстояние же от точки E до ребра AB не превосходит расстояния от точки O до этого ребра, то есть не больше . Полученное противоречие показывает, что такой плоскости π и такой ортогональной проекции не существует.

Рис. а	Рис. б	Рис. в

Второй способ. Покажем, что ни в какой ортогональной проекции тетраэдра нельзя расположить круг, радиус которого больше, чем .

Проекция тетраэдра — это или треугольник, или четырёхугольник. Если проекция — треугольник, то это проекция грани тетраэдра. Пусть, для определённости, это грань ABC (см. рис. е). В эту грань тетраэдра впишем окружность с центром в точке Q и радиусом ( < ). Пусть Q' — проекция Q, тогда круг с центром в точке Q' и радиусом содержит середины сторон проекции A'B'C' и либо вписан в треугольник-проекцию, либо выходит за его пределы. В последнем случае проведём касательные к этому кругу, параллельные сторонам треугольника-проекции (см. рис. ж). Получим описанный около этого круга треугольник A''B''C'', который содержит треугольник A'B'C' внутри себя. Значит, если в проекции можно расположить круг радиуса большего, чем , то этот круг расположится и в треугольнике A''B''C'', что невозможно.

Рис. г	Рис. д	Рис. е

Если проекция — четырёхугольник (см. рис. з), пусть для определённости это A'B'C'D', то середины его сторон являются вершинами параллелограмма с центром в точке P и диагоналями, не превосходящими . Рассмотрим круг с центром в точке P и радиусом . Этот круг содержит указанный параллелограмм и либо вписан в четырёхугольник-проекцию, либо выходит за его пределы. В последнем случае проведём касательные к этому кругу, параллельные сторонам четырёхугольника-проекции. Получим описанный около этого круга четырёхугольник A''B''C''D'', который содержит четырёхугольник A'B'C'D' внутри себя. Значит, если в A'B'C'D' можно расположить круг радиуса большего, чем , то этот круг разместится и в четырёхугольнике A'' B'' C'' D'', что невозможно.

Рис. ж	Рис. з

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2011
Номер	74
класс
Класс	11
задача
Номер	5