ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116231
УсловиеПродавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении a : (1 – a) по весу, где 0 < a < 1. Верно ли, что на любом промежутке длины 0,001 из интервала (0, 1) найдётся значение a, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов? Решение Назовём число a подходящим, если 0 < a < 1 и для этого значения a продавец сможет добиться желаемого результата. Пусть число a подходящее, тогда число 1 – a также является подходящим. Докажем, что подходящим будет также Для этого достаточно показать как разрезать кусок сыра веса 1 на части в отношении a : (1 – a), используя разрезы в отношении и .
Кроме того, Так как bn–1/bn > 1,5, найдётся такое натуральное N, что bN < 0,0011024 и, следовательно, bN,10 < 0,001. В наборе подходящих чисел bN,10 < bN–1,10 < ... < b0,10 первое число меньше 0,001, последнее больше 0,999 и разности между соседними числами меньше 0,001. Поэтому этот набор имеет непустое пересечение с каждым из промежутков длины 0,001 из интервала (0, 1). ОтветВерно. ЗамечанияСм. также задачу 116423. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|