Задача 116232

Тема:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Авторы: Фольклор, Канунников А.Л., Сергеев И.Н.

Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции y = sin x. Может ли та же кривая являться графиком функции y = sin ²x в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?

Решение

Заметим, что для решения задачи нам достаточно предъявить хотя бы одну искомую систему координат. Пусть y = sin x. Так как

то при и (или, иначе говоря, y = 2z – 1) получаем z = sin ²t. Начало координат O' новой системы координат O'tz имеет относительно старой системы Oxy координаты , а единица измерения на каждой оси новой системы в два раза больше по сравнению со старой системой координат.

Отметим (докажите это самостоятельно), что в задаче возможны следующие ответы: новая система координат может иметь центр с координатами в старой системе, где , а единица измерения на каждой оси новой системы в два раза больше по сравнению со старой.

Ответ

да, может. Подходит, например, такая новая система координат, центр которой имеет координаты в старой системе, а единица измерения на каждой оси новой системы в два раза больше по сравнению со старой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2011
Номер	74
класс
Класс	11
задача
Номер	1