ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116234
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что  ∠ABO = ∠CAO,  ∠BAO = ∠BCO,  ∠BOC = 90°.  Найдите отношение  AC : OC.


Решение

  Построим точку D, симметричную точке C относительно прямой BO (см. рис.). Тогда  ∠BDO = ∠BCO = ∠BAO.  Значит, точка D лежит на описанной окружности треугольника ABO, и  ∠ADO = ∠ABO = ∠CAO.  Значит, треугольник DAC подобен треугольнику AOC. Следовательно,  DC : AC = AC : OC,  или  2OC : AC = AC : OC,  откуда   .


Ответ

.

Замечания

Есть и другие решения, в которых используются теорема Чевы для треугольника ABC и теорема синусов для треугольников AOB, AOC и BOC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2011
Номер 74
класс
Класс 11
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .