Задача 116235

Тема:    [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 11

Условие

Автор: Косухин О.Н.

При какой перестановке a₁, a₂, ..., a₂₀₁₁ чисел 1, 2, ..., 2011 значение выражения

будет наибольшим?

Решение

Пусть a₁, a₂, ..., a₂₀₁₁ — искомая расстановка чисел. Нетрудно видеть, что тогда должно быть выполнено равенство a₂₀₁₁ = 1, так как иначе выражение из условия задачи можно было бы увеличить, поменяв между собой местами числа a_k = 1 (k ≠ 2011) и a₂₀₁₁ .

Сравним два числа и , где a, b и c — некоторые натуральные числа, причём a ≠ b, a ≥ 2 и b ≥ 2. Так как функция y = ln x монотонно возрастает при всех x > 0, то разность – имеет тот же знак, что и разность

Найдём промежутки монотонности функции y = x ^{– c} ln x. Имеем

Так как y' > 0 при 0 < x < e^1/c и y' < 0 при x > e^1/c, то функция y = x ^{– c} ln x возрастает на промежутке 0 < x < e^1/c и убывает на промежутке x > e^1/c.

При c = 1, учитывая неравенство 3 > e, отсюда получаем

Значит, a ^{– 1} ln a > b ^{– 1} ln b, если 3 ≤ a < b. Следовательно, a^b1 > b^a1 при 3 ≤ a < b. При c ≥ 2 имеем 1 < e^1/c < 2. Поэтому при таких значениях c получаем, что

Тогда a ^{– c} ln a > b ^{– c} ln b и a^bc > b^{a c} при 2 ≤ a < b.

Докажем по индукции, что для искомой расстановки чисел и всех n = 1, 2, ..., 2010 имеет место равенство a_{2011 – n} = 2012 – n. Пусть сначала n = 1. Если 2011 = a_k, где k ≤ 2009, то 2 ≤ a_k+1 < a_k и, по доказанному выше, a_k^{a_k+1 c} < a _k+1^a_kc при всех натуральных c. Поэтому выражение из условия задачи можно увеличить, поменяв между собой местами числа a_k = 2011 и a_k+1. Полученное противоречие означает, что a₂₀₁₀ = 2011. Аналогичными рассуждениями доказываются и следующие шаги индукции: считая уже доказанным равенство a_{2011 – n} = 2012 – n при некотором натуральном n ≤ 2007 и предполагая, что a_{2011 – (n + 1)} ≠ 2012 – (n + 1), приходим к противоречию, так как по доказанному выше a_k^{a_{k + 1}c} < a _k+1^a_kc при 2012 – (n + 1) = a_k, где k ≤ 2011 – (n + 2). Значит, a₃ = 4, a₄ = 5, ..., a₂₀₁₀ = 2011 и a₂₀₁₁ = 1. Для доказательства того, что a₁ = 2 и a₂ = 3, заметим, что при c = 4^5...2011 > 2 имеет место неравенство 2^3c > 3^2c. Следовательно, выражение из условия задачи будет наибольшим при a₁ = 2, a₂ = 3, ..., a₂₀₁₀ = 2011 и a₂₀₁₁ = 1.

Ответ

a₁ = 2, a₂ = 3, a₃ = 4, ..., a₂₀₁₀ = 2011, a₂₀₁₁ = 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2011
Номер	74
класс
Класс	11
задача
Номер	4