ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116246
УсловиеНа сторонах правильного 2009-угольника отметили по точке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади S. Каждую из отмеченных точек отразили относительно середины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите, что 2009-угольник с вершинами в отражённых точках также имеет площадь S. РешениеПусть A1A2...A2009 – правильный 2009-угольник со стороной 1, φ – его угол, P – периметр, M – 2009-угольник площади S, ai – расстояние от Ai до ближайшей по часовой стрелке отмеченной вершины (i = 1, ..., 2009). Сторона многоугольника M отсекает от угла Ai правильного 2009-угольника треугольник площади 0,5sin φ (1 – ai–1)ai. Суммируя отсеченные площади, получаем 0,5 sin φ ((a1 + a2 + ... + a2009) – (a1a2 + a2a3 + ... + a2009a1)). После отражения сторона нового 2009-угольника отсекает от угла Ai треугольник площади 0,5 sin φ ai–1(1 – ai). Суммируя отсечённые площади, получаем тот же результат. Замечания4 баллаИсточники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|