Задача 116278

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Два муравья проползли каждый по своему замкнутому маршруту на доске 7×7. Каждый полз только по сторонам клеток доски и побывал в каждой из 64 вершин клеток ровно один раз. Каково наименьшее возможное число таких сторон, по которым проползали и первый, и второй муравьи?

Решение

Пример, где число "общих" сторон равно 16, приведён на рисунке (один маршрут чёрный, другой – красный).

Оценка. Каждый из муравьев посетил по 64 разные стороны. Всего сторон  7·8·2 = 112.  Следовательно, дважды посещённых сторон хотя бы
64 + 64 – 112 = 16.

Ответ

16 сторон.

Замечания

10 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2010/2011
Номер	32
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	6