Задача 116291

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине C высота CH и биссектриса AK пересекаются в точке M.
Докажите, что треугольник CMK – равнобедренный.

Решение

Пусть  ∠A = 2α.  Тогда  ∠BAK = α.  Из прямоугольных треугольников AHM и ACK находим, что  ∠AMH = 90° – α,  ∠AKC = 90° – α,  поэтому
∠CMK = ∠AMH = 90° – α = ∠AKC = ∠MKC.  Следовательно, треугольник MKC – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6129