Задача 116315

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC известно, что B = 50^o , C = 70^o . Найдите углы треугольника OHC , где H — точка пересечения высот, O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение

Заметим, что

CHB = 180^o- BAC = 180^o-60^o = 120^o.

Пусть CC1 и BB1 — высоты треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников CC1B и BB1C находим, что
BCH = 90^o- ABC = 90^o-50^o = 40^o, CBH = CBB1=90^o-70^o=20^o,
поэтому
OCH = BCH - BCO = 40^o- 35^o = 5^o.

Лучи CO и BO — биссектрисы углов ACB и ABC , поэтому
COB = 90^o+ BAC = 90^o+30^o = 120^o.

Из точек H и O , лежащих по одну сторону от прямой BC , отрезок BC виден под одним и тем же углом ( 120^o ), значит, точки B , O , H и C лежат на одной окружности. Следовательно,
COH = CBH = 90^o- 70^o= 20^o,

CHO = 180^o - OCH - COH = 180^o-5^o-20^o=155^o.

Ответ

20^o , 5^o , 155^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6161