Задача 116336

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12 и 13.

Подсказка

Если a и b – катеты прямоугольного треугольника, а c – гипотенуза, то искомые радиусы равны и .

Решение

Первый способ.Пусть окружность с центром O и радиусом r вписана в прямоугольный треугольник ABC, в котором BC = a, AC = b – катеты, а AB = c – гипотенуза. Если окружность касается отрезков BC, AC и AB соответственно в точках K, L и M, то OKCL – квадрат со стороной r, поэтому BM = BK = BC – CK = a – r, AM =AL =AC – CL = b – r, а т.к. AM + BM = AB, то a – r + b – r = c. Отсюда находим, что

Пусть окружность с центром O_a и радиусом r_a касается катета BC в точке P, а продолжений катета AC и гипотенузы AB в точках Q и T соответственно. Тогда O_aPCQ – квадрат со стороной r_a, поэтому

где p – полупериметр треугольника.

Аналогично находим радиусы остальных окружностей.

Второй способ. Пусть a, b и c – стороны произвольного треугольника, S – его площадь, p – полупериметр, r – радиус вписанной окружности, r_a, r_b и r_c – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон a, b и c соответственно. Тогда

В нашем случае

Ответ

2, 15, 3, 10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1994