Условие
Точки M и N расположены на стороне AC треугольника ABC, а точки K и L – на стороне AB, причём AM : MN : NC = 1 : 3 : 1 и AK = KL = LB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника KLNM.
Решение
У треугольников ABN и ABC общая высота, проведённая из вершины C, поэтому их площади относятся как основания, значит, $$S_{ABN} = \frac{AN}{AB} \cdot S_{ABC} = \frac45 \cdot 1 = \frac45.$$
Аналогично, $$S_{ANL} = \frac{AL}{AB} \cdot S_{ABN} = \frac23 \cdot \frac45 = \frac{8}{15},$$ $$S_{ANK} = \frac{AK}{AB} \cdot S_{ABN} = \frac13 \cdot \frac45 = \frac4{15},$$ $$S_{AKM} = \frac{AM}{AN} \cdot S_{ANK} = \frac14 \cdot \frac4{15} = \frac1{15}.$$
Следовательно,
$$S_{KLNM} = S_{ALN} - S_{AKM} = \frac8{15} - \frac1{15} = \frac7{15}.$$
Ответ
$\frac7{15}$.Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2926 |
