Задача 116351

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC расположены точки A₁, B₁ и C₁ соответственно, причём BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = AC₁ : C₁B = 2 : 3. Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых AA₁, BB₁ и CC₁, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.

Подсказка

Найдите отношение, в котором делятся точкой пересечения отрезки BB₁ и CC₁.

Решение

Пусть K – точка пересечения отрезков BB₁ и CC₁. Через точку B проведём прямую, параллельную AC, и продолжим CC₁ до пересечения с этой прямой в точке T. Положим CB₁ = 2a, AB₁ = 3a. Треугольники BC₁T и AC₁C подобны с коэффициентом . Поэтому , а из подобия треугольников BKT и B₁KC находим, что

Поэтому

Аналогично находим, что

где M – точка пересечения AA₁ и CC₁, а N – BB₁ и AA₁. Следовательно,

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2929