Условие
Стороны треугольника равны 17, 17, 30. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
Подсказка
Радиус вневписанной окружности, касающейся основания, можно найти из подобия треугольников. Радиус вневписанной окружности, касающейся боковой стороны, равен высоте, опущенной на основание.
Решение
Пусть r – радиус вписанной окружности треугольника ABC, a = AC = BC = 17, c = AB = 30), rc, rb и ra – радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB, AC и BC соответственно, Oc, Ob и Oa – их центры, S – площадь треугольника ABC, p = 32 – полупериметр.
Поскольку высота CK равнобедренного треугольника ABC
является его медианой, то CK² = AC² – AK² = 64.
Поэтому S = ½ AB·CK = 120. Следовательно, r = S/p = 15/4.
Первый способ. Если окружность с центром Oc касается продолжения стороны BC в точке M, то из подобия треугольников CMOc и CKB находим, что rc = OcM = BK·CM/CK = BK·(BC+CM)/CK = BK·(BC+BK)/CK = 15·32/8 = 60.
Пусть окружность с центром Oa касается продолжения стороны AB в точке F, а продолжения стороны AC – в точке E. Поскольку COa – биссектриса угла BCE, а CK – биссектриса его смежного угла ACB, то ∠OaCK = 90°. Поэтому OaCKF – прямоугольник. Следовательно,
rb = ra = rc = OaF = CK = 8.
Второй способ. rc = S/p–c = 120/32–30 = 60, rb = ra = S/p–a = 120/32–17 = 8.
Третий способ. Поскольку AO – биссектриса треугольника AKC, то OK : OC = AK : AC = 15 : 17, r = OK = 15/15+17·CK = 15/15+17·8 = 15/4.
Поскольку AOc – биссектриса внешнего угла треугольника AKC, то OcK : OcC = AK : AC = 15 : 17, rc = OcK = 15/17–15·CK = 15/2·8 = 60.
Ответ
15/4, 60, 8, 8.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2940 |
