Задача 116366

Темы:    [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

В треугольнике ABC известно, что AB = 10, BC = 24, а медиана BD равна 13. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC касаются медианы BD в точках M и N соответственно. Найдите MN.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение. Если в треугольник XYZ вписана окружность, а x – расстояние от вершины X до касания окружности со стороной XY и YZ = a, то x = p – a, где p – полупериметр треугольника.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами XY, YZ и XZ через Z₁, X₁ и Y₁ соответственно. Пусть XZ = b и XY = c. Тогда

Следовательно,

Что и требовалось доказать.

Вернёмся к нашей задаче. Окружность, вписанная в треугольник ABD, касается его стороны BD в точке M. По доказанному

Аналогично,

При этом AD = CD. Следовательно,

Ответ

7.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2944