Задача 116378

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Авилов Н.И.

В вершинах 33-угольника записали в некотором порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в её концах.
Могут ли на сторонах оказаться 33 последовательных целых числа (в каком-нибудь порядке)?

Решение

Пусть в вершинах числа идут в таком порядке:  1, 18, 2, 19, 3, 20, ..., 16, 33, 17.  Нетрудно убедиться, что суммы двух соседних чисел будут возрастать по порядку от 19 до 50. А сумма первого и последнего равна 18.

Ответ

Могут.

Замечания

1. См. также задачу М2248 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2012, №1).
2. 4 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2011/2012
Номер	33
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4