|
|
 |
Условие
В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны равны соответственно: AB = 10, BC = 14, CD = 11, AD = 5. Найдите угол между его диагоналями.
Решение 1
Нетрудно убедиться, что AB² + CD² = AD² + BC². Пусть O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника, а угол AOB равен α. Выразив входящие в равенство квадраты сторон по теореме косинусов для треугольников AOB, BOC, COD и DOA, после сокращений получим
– cos α (OA·OB + OC·OD) = cos α (OA·OD + OC·OB), что возможно только при cos α = 0.
Решение 2
Рассмотрим последовательные стороны четырёхугольника как векторы a, b, c, d (a + b + c + d = 0). При этом a² + c² = b² + d².
Заметим, что d + a – одна диагональ четырёхугольника, а a + b – другая.
Имеем 2(d + a, a + b) = (a + d – b – c, a + b) = (a – b, a + b) + (d – c, a + b) = (a – b, a + b) + (c – d, c + d) = a² – b² + c² – d² = 0. Это и значит, что диагонали перпендикулярны.
Ответ
90°.
Замечания
1. Точно так же доказывается более общий факт:
диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
2. Баллы: 4.
