ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116389
УсловиеИзвестно, что 0 < a, b, c, d < 1 и abcd = (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d). Докажите, что (a + b + c + d) – (a + c)(b + d) ≥ 1. РешениеПроизведение положительных чисел ac и bd равно произведению положительных чисел (1 – a)(1 – c) и (1 – b)(1 – d). Поэтому либоac ≥ (1 – a)(1 – c), bd ≤ (1 – b)(1 – d), либо ac ≤ (1 – a)(1 – c), bd ≥ (1 – b)(1 – d). Разберём первый случай. Раскрыв скобки и приведя подобные, получим 1 – (a + c) ≤ 0, 1 – (b + d) ≥ 0, следовательно, 1 – (a + c) – (b + d) + (a + c)(b + d) = (1 – (a + c))(1 – (b + d)) ≤ 0. Последнее неравенство равносильно тому, что надо доказать. Замечаниябаллы: 6 (младшие кл.), 4 (старшие кл.)Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|