ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116389
Тема:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что  0 < a, b, c, d < 1  и  abcd = (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1 – d).  Докажите, что   (a + b + c + d) – (a + c)(b + d) ≥ 1.


Решение

   Произведение положительных чисел ac и bd равно произведению положительных чисел  (1 – a)(1 – c)  и  (1 – b)(1 – d).  Поэтому либо
ac ≥ (1 – a)(1 – c),  bd ≤ (1 – b)(1 – d),  либо  ac ≤ (1 – a)(1 – c),  bd ≥ (1 – b)(1 – d).
  Разберём первый случай. Раскрыв скобки и приведя подобные, получим   1 – (a + c) ≤ 0,  1 – (b + d) ≥ 0,   следовательно,
1 – (a + c) – (b + d) + (a + c)(b + d) = (1 – (a + c))(1 – (b + d)) ≤ 0.   Последнее неравенство равносильно тому, что надо доказать.

Замечания

баллы: 6 (младшие кл.), 4 (старшие кл.)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .